Gabor滤波器

写在前面

本文主要介绍Gabor核相关知识,以及其在图像处理上的应用。

本文主要考虑提取Gabor特征用于人脸检测。

Gabor核

一维Gabor核

一维Gabor核由一个高斯核与一个复数波乘积定义:

$$
\begin{equation}
Gabor(t) = ke^{i\theta}w(at)s(t)
\tag{1}
\end{equation}
$$

其中,
$$
\begin{cases}
w(t) = e^{-\pi t^2}& \quad \text {高斯核} \\
s(t)=e^{i(2\pi f_0 t)}& \quad \text {复数核}
\end{cases}
$$
这里$f_0$是复数波$s(t)$的频率。

代入式$1$得到
$$
Gabor(t) = kw(at)[cos(2\pi f_0 t+\theta)+i\cdot sin(2\pi f_0 t+\theta)]
$$
从上式可以看出,Gabor核可以按实部和虚部划分为实核和虚核。多数情况下,只需选用Gabor核的实数部分即可。
$$
\begin{cases}
Gabor_{real}(t) = w(at)cos(2\pi f_0 t+\theta) \tag{2} \\ \\
Gabor_{imag}(t) = w(at)sin(2\pi f_0 t+\theta)
\end{cases}
$$

傅里叶变换

对式$1$进行傅里叶变换,得到频域下的Gabor核
$$
\begin{align}
Gabor(f) &= ke^{i\theta}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i2\pi ft}w(at)s(t)dt\\
& =ke^{i\theta}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i2\pi (f-f_0)t}w(at)dt\\
&=\frac{k}{a}\cdot e^{i\theta}\cdot w(\frac{f-f_0}{a})
\end{align}
$$
基于上式,Gabor核相当于在频域应用了一个高斯核窗口,从而实现过滤$f_0$频率领域范围内的信号。

二维Gabor核

同一维Gabor核一样,二维Gabor核也是由二维高斯函数与二维复数波组合得到。

二维复数波

二维复数波的定义如下,由于初始相位$\phi$对Gabor核影响不大,因此常常可以省略。
$$
s(x,y)=exp(i(2\pi (u_0x+v_0y)+\phi))
$$

二维高斯函数

二维高斯函数定于如下:
$$
w(x,y,\sigma _x,\sigma _y)=Kexp(-\pi (\frac{(x-x_0)^2}{\sigma_x^2}+\frac{(y-y_0)^2}{\sigma_y^2})) \tag{3}
$$
其中,$\sigma_x,\sigma_y$分别是两个方向上的尺度参数,$(x_0,y_0)$为高斯函数的中心点,$K$为常数。

若考虑高斯函数的旋转(顺时针)
$$
\begin{cases}
(x-x_0)_r=(x-x_0)cos\theta+(y-y_0)sin\theta\\
(y-y_0)_r=-(x-x_0)sin\theta+(y-y_0)cos\theta
\end{cases}
$$
代入$3$式可以得到,加入旋转参数后的二维高斯函数为:

$w(x,y,\sigma _x,\sigma _y)=Kexp(-\pi (\frac{(x-x_0)_r^2}{\sigma_x^2}+\frac{(y-y_0)_r^2}{\sigma_y^2})) \tag{4}$

本文标题:Gabor滤波器

文章作者:Lumo Wang

发布时间:2018年03月06日 - 19:03

最后更新:2018年11月07日 - 16:11

原始链接:https://luameows.github.io/2018/03/06/学习笔记-Gabor滤波器/

许可协议: 署名-非商业性使用-禁止演绎 4.0 国际 转载请保留原文链接及作者。

请我喝杯咖啡,我会继续熬夜的~